نقطه کانونی (نظریه بازی‌ها)

نقطه‌ای کانونی که بر اساس برداشت ثابت افراد از بازی باشد مانند بازی مطرح شده در بالا.

نقطه‌ای کانونی ای که بر اساس برداشت افراد در حین بازی باشد مثلاً اگر زن و شوهری یکدیگر را در خیابان گم کنند و به صورت اتفاقی در مغازهٔ اسباب‌بازی فروشی یکدیگر را ملاقات کنند؛ بار بعد که یکدیگر را گم کنند مغازهٔ اسباب‌بازی فروشی یک نقطهٔ کانونی است در حالی که بار اول که یکدیگر را گم کردند، آن انتخاب نقطهٔ کانونی بازی نبود.

نظریهٔ بازی استاندارد بر اساس فرض وجود دانش همگانی (common knowledge rationality) بنا شده‌است. نتیجهٔ مستقیم فرض وجود دانش عمومی، شفافیت استدلال است. از فرض دانش عمومی و بیشینه کردن مطلوبیت نتیجه می‌شود که بازی هماهنگی خالص یا هر بازی دیگر اگر راه حلی یکتا داشته باشد آن راه حل حتماً باید تعادل نش باشد. در بازی‌های هماهنگی خالص یا هر بازی ای به جز بازی‌های اکیداً رقابتی (دو نفره -جمع صفر) روش‌های معمول، کمکی به یافتن راه حل یکتای بازی نمی‌کند زیرا این بازی‌ها معمولاً چند تعادل نش دارند. شیلینگ نشان داد که تحلیل‌های شهودی بازی‌های هماهنگی خالص منجر به راه حل نقطهٔ کانونی می‌شود. شواهد و آزمایش‌های تجربی نیز این یافته را تأیید می‌کنند. مارگارت گیلبرت نشان داد که هماهنگی موفق نمی‌تواند نتیجهٔ عقلانیت باشد.

نکته‌ای که وجود دارد این است که عقلایی بودن در اینجا به نوعی خود را شکست می‌دهد(self-defeating). فرض کنید در یک بازی جورسازی بازیکن ۱ می‌داند که دیگری مستقل از عقلانیت، تعادل نش متمایز را انتخاب‌می‌کند که در نتیجه یعنی بازیکن ۲ غیر عقلایی رفتارمی‌کند و بازیکن ۱ با یک توجیه عقلایی و به دلیل بیشینه کردن مطلوبیت، همان تعادل نش متمایز را انتخاب‌می‌کند و هماهنگی به راحتی انجام‌می‌شود. این نتیجهٔ مهم که نقطهٔ کانونی در بازی هماهنگی خالص در چارچوب فروض عقلانیت استاندارد قابل توجیه نیست، در ادبیات نظریهٔ بازی پذیرفته‌شده‌است.

• تعادل دستاورد غالب: تعادلی است که در آن دستاورد یکی از تعادل‌های نش برای تمامی بازیکنان از تمامی تعادل‌های نش دیگر بیشتر است.
• اصل دستاورد غالب: اگر در بازی یک تعادل دستاورد غالب وجودداشته‌باشد آنگاه بازیکنان عقلایی استراتژی متناظر با آن دستاورد را انتخاب‌می‌کنند.

بازی ای که در ادامه می‌آید هر بازی جورسازی را که یک نقطهٔ کانونی دارد؛ مدل می‌کند:

به دو بازیکن ${\displaystyle m+1}$ مهره نشان داده می‌شود. ${\displaystyle m}$ مهره سفید رنگ و ۱ مهره آبی رنگ است. هر بازیکن یکی از مهره‌ها را بدون اطلاع از انتخاب باریکن دیگر انتخاب می‌کند. اگر هر دو بازیکن یک مهره را انتخاب کنند دستاوردی به اندازهٔ ۱ واحد مطلوبیت دریافت می‌کنند در غیر اینصورت هیچ دستاوردی نخواهندداشت. همچنین فرض می‌شود اگر بازیکن‌ها مهرهٔ سفید را انتخاب کنند راهی برای تشخیص اینکه مهره‌های انتخاب شده مانند هم هستند یا نه وجود دارد ولی بازیکن‌ها نمی‌توانند مهره‌های سفید را از یکدیگر تشخیص دهند. در ضمن m هم به اندازهٔ کافی بزرگ است.

به‌طور شهودی بازیکن‌ها باید مهرهٔ آبی را انتخاب کنند در حالی که در غالب تئوری دلیل این انتخاب، واضح نیست.

مدل کردن ماتریس دستاوردهای این بازی به شکل یک ماتریس ${\displaystyle (m+1)*(m+1)}$ تبیین صحیحی نیست چرا که بازیکن‌ها ظرفیت انتخاب از میان ${\displaystyle m+1}$ استراتژی را ندارند و مهره‌های سفید برای بازیکن‌ها قابل تمایز نیست پس در واقع هر بازیکن سه استراتژی دارد: ۱- انتخاب مهرهٔ آبی ۲- انتخاب مهرهٔ سفید ۳- انتخاب یک مهره به صورت تصادفی

ماتریس دستاوردهای بازی به شکل زیر در می‌آید:

ماتریس دستاوردها برای بازی مهرهٔ آبی

همان‌طور که ماتریس نشان می‌دهد بازی ۳ تعادل نش دارد که از میان آن‌ها حالت${\displaystyle BB}$ تعادل نش با دستاورد غالب است. اگر توجیهی عقلایی برای انتخاب تعادل نش با دستاور غالب در این بازی وجود داشته‌باشد آنگاه توجیهی عقلایی برای توجه به تعادل‌های متمایز (نقاط کانونی) نیز وجود دارد. حال بازی قبل را به حالتی عمومی‌تر بسط می‌دهیم.

بازی قبل را در حالتی که تمامی مهره‌ها سفید رنگ هستند در نظرمی‌گیریم. دو بازیکن مانند قبل بازی می‌کنند و سعی دارند که یک مهره را انتخاب کنند اگر مهره‌های سفید غیرقابل تمایز باشند، نقطهٔ کانونی ای وجود ندارد و هر بازیکن یک مهره را تصادفی انتخاب می‌کند و دستاوردی به اندازه ${\displaystyle 1/(m+1)}$ به‌دست‌می‌آورد. حال این فرض را در نظر می‌گیریم که یکی از مهره‌ها شکستگی یا علامتی دارد که برای هر بازیکن ممکن است قابل تشخیص باشد یا نباشد. اگر یکی از بازیکنان مهرهٔ متمایز را شناسایی کند، احتمالی بزرگتر از صفر به این پیشامد که بازیکن دیگر نیز این مهره را شناسایی کند، نسبت می‌دهد. اگر هردو بازیکن مطمئن باشند که طرف مقابلشان مهره را شناسایی می‌کند، احتمال نسبت داده شده ۱ است و طرفین به نقطهٔ تعادل بازی هماهنگی می‌رسند. در این شرایط دو حالت متفاوت بازی مهره‌ها، یکریخت هستند و توجیه عقلایی نقطهٔ کانونی به عنوان نتیجهٔ هر توجیه عقلایی اصل دستاورد غالب به دست می‌آید.

در نظریهٔ چارچوب متغیر، آگاهی یک فرد از ویژگی خاص، یک متغیر تصادفی است و هر بازیکن به این پیشامد که بازیکن دیگر نیز این ویژگی را مشاهده کند احتمالی نسبت می‌دهد. در حالتی از بازی که مهره‌ها سفید هستند اگر هر دو نفر توانایی تشخیص مهرهٔ متمایز را داشته باشند و احتمال p را به تشخیص این ویژگی از طرف دیگر تخصیص دهند؛ آنگاه نقطهٔ کانونی وجود دارد و مطلوبیت افراد با انتخاب آن بیشینه می‌شود. نقطهٔ کانونی همچنان یک نقطهٔ تعادل با دستاورد غالب است که در نتیجهٔ انتخاب آن با در نظر گرفتن هر توجیهی برای اصل دستاورد غالب یک توجیه عقلایی دارد.

اگر بیش از یک انتخاب متمایز برای بازیکنان وجود داشته باشد و همهٔ بازیکنان متوجه تمایزهای موجود بشوند و به اینکه طرفشان نیز این ویژگی را تشخیص می‌دهد نیز احتمالی نسبت دهند؛ آنگاه اگر هر دو بازیکن استراتژی‌ای را انتخاب کنند که یکی از نقاط متمایز را تصادفی انتخاب کنند، نتیجهٔ بازی یک تعادل نش با دستاورد غالب خواهد بود.

ارائهٔ یک توضیح قانع‌کننده برای اصل دستاورد غالب، به طرز غیرمنتظره‌ای دشوار است. بسیاری از توضیحات ارائه شده از اصول نظریهٔ بازی استاندارد بسیار دور است. کالمن و باچاراه در قالب پروسهٔ استکلبرگ، توضیحی ارائه می‌کنند که نسبت به توضیحات دیگر از فروض نظریهٔ بازی استاندارد، کمتر دور است. پروسهٔ مورد نظر به این شکل است که هر بازیکن در مقابل هر استراتژی فرد دیگر، بهترین بازی خود را که ماکزیمم‌کنندهٔ مطلوبیتش است؛ انجام می‌دهد. اگر فرض شفافیت استدلال را مبنی بر اینکه هر نتیجه‌ای که یکی از بازیکنان در مورد استراتژی انتخابی اش می‌گیرد توسط بازیکن دیگر قابل پیش‌بینی است؛ بپذیریم آنگاه هر بازیکن بر اساس این فرض که فرد دیگر هم به صورت غیر متغیری بهترین جواب را انتخاب می‌کند؛ استراتژی‌ای را انتخاب می‌کند که مطلوبیتش را ماکزیمم می‌کند. یعنی از بین تمامی نقاط تعادل بازی، نقطهٔ تعادل با دستاورد غالب انتخاب می‌شود.