فاصله

به طول کوتاه‌ترین خط بین دو نقطه‌ی ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ فاصلهٔ اقلیدسی (با نماد ${\displaystyle {\overline {AB}}}$[1]) گفته می‌شود.

در هندسهٔ تحلیلی فاصلهٔ بین دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ را می‌توان به کمک قضیهٔ فیثاغورث پیدا کرد که به فرمول زیر می‌رسد[2]:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}={\sqrt {(A_{x}-B_{x})^{2}+(A_{y}-B_{y})^{2}}}}$

این فرمول را می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد؛ یعنی اگر ${\displaystyle A=(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}$ و ${\displaystyle B=(B_{1},B_{2},\dots ,B_{n})}$:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(\Delta A_{i})^{2}}}}={\sqrt {(A_{1}-B_{1})^{2}+(A_{2}-B_{2})^{2}+\dots +(A_{n}-B_{n})^{2}}}}$

فاصله میان نقطه (${\displaystyle P=(x_{p},y_{p}}$ و خط ${\displaystyle l}$، از طریق نقاط ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ و ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ برابر است با:

${\displaystyle d(P,l)={\sqrt {(x_{p}-x_{0}-\lambda _{q}(x_{1}-x_{0}))^{2}+(y_{p}-y_{0}-\lambda _{q}(y_{1}-y_{0}))^{2}}}}$

که در آن:

${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {(x_{1}-x_{0})(x_{p}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})(y_{p}-y_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}}$

اگر مقدار ${\displaystyle \lambda _{q}}$ میان ۰ و ۱ باشد نقطهٔ تقاطع ${\displaystyle l}$ و خط گذرنده از ${\displaystyle P}$ و عمود بر ${\displaystyle l}$ بین نقاط ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ و ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ جای می‌گیرد.

در منهتن انتخاب بین مسیر‌های زرد و آبی و قرمز فرقی در مسافت طی‌شدهٔ نهایی ایجاد نمی‌کند

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

نام این نوع فاصله از منهتن در نیویورک آمریکا الهام گرفته شده؛ به این دلیل که نقشهٔ جادّه‌های آنجا بلوک‌بندی شده. فاصلهٔ منهتنی دو خانه برابر مسافتی ست که یک تاکسی باید طی کند تا به مقصد برسد.

فاصلهٔ منهتنی دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ (با نماد ${\displaystyle d_{1}}$) با فرمول زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {d_{1}} (A,B)=\left\vert \Delta x\right\vert +\left\vert \Delta y\right\vert }$

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

این نوع فاصله به این دلیل شطرنجی نامیده شده که در شطرنج برابر تعداد نوبت‌های مورد نیاز شاه برای رسیدن به مقصدش می‌باشد.

فاصلهٔ شطرنجی دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ (با نماد ${\displaystyle d_{1}}$) با فرمول زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {d_{\infty }} (A,B)=\max\{\Delta x,\Delta y\}}$

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

در فضای ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ فاصلهٔ مینکوفسکی از مرتبهٔ ${\displaystyle p}$ (یا p-نُرم با نماد ${\displaystyle \mathrm {d} _{p}}$) بین دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}$ و ${\displaystyle B=(B_{1},B_{2},\dots ,B_{n})}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}-B_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$

فاصلهٔ منهتنی معادل ۱-نرم، فاصلهٔ شطرنجی معادل ∞-نرم و فاصلهٔ اقلیدسی معادل ۲-نرم (${\displaystyle \mathrm {d} _{2}}$) هستند.