عرق‌چین (هندسه)

با دوران ناحیهٔ سبز رنگ حول محور xها عرق‌چینی با شعاع ${\displaystyle r}$ و ارتفاع ${\displaystyle h}$ ایجاد می‌شود.

حجم و مساحت را با استفاده از دوران تابع می‌توان حساب کرد.

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

فرمول سطح دورانی برای پیدا کردن مساحت استفاده می‌کنیم.

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

مشتق ${\displaystyle f}$ برابر است با:

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

پس

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

پس فرمول مساحت رویه برابر است با:

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

از فرمول جسم دورانی برای حجم استفاده می‌کنیم پس:

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

حجم حاصل از اجتماع دو کرهٔ متقاطع با شعاع‌های ${\displaystyle r_{1}}$ و ${\displaystyle r_{2}}$ برابر است با:[2]

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

که

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

که برابر با جمع حجم‌های دو کره جدا از هم است و

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

که برابر حجم دو عرق‌چین تشکیل دهندهی ناحیهٔ مشترک بین دو کره است. اگر ${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$ فاصلهٔ بین مرکزهای دو کره باشد با پیدا کردن مقادیر ${\displaystyle h_{1}}$ و ${\displaystyle h_{2}}$ داریم:[3][4]

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

فرض کنید شعاع‌های دو کرهٔ متقاطع ${\displaystyle r_{1}}$ و ${\displaystyle r_{2}}$ و مرکز دو کره به اندازهٔ ${\displaystyle d}$ از هم فاصله دارند. اگر شرط زیر برقرار باشد آن‌ها همدیگر را قطع می‌کنند.

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

با استفاده از قانون کسینوس‌ها زاویهٔ قطبی عرق‌چین در کرهٔ با شعاع ${\displaystyle r_{1}}$ برابر مقدار زیر است:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}}$

با کمک مقدار بالا مساحت عرق‌چین سمت دایره ${\displaystyle r_{1}}$ را پیدا می‌کنیم.

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)}$

مساحت رویهٔ قطعهٔ کره (عرق‌چینی که با دو صفحه محدود شده) برابر با اختلاف مساحت دو عرق‌چینی است که هر یک از صفحه‌ها به‌طور جدا گانه به وجود می‌آورند. شعاع کره برابر ${\displaystyle r}$ و ارتفاع‌های دو عرق‌چین ${\displaystyle h_{1}}$ و ${\displaystyle h_{2}}$ است پس سطح برابر با:

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

یا با استفاده از مختصات کروی با عرض‌های ${\displaystyle \phi _{1}}$ و ${\displaystyle \phi _{2}}$ ، مساحت رویه بدین قرار است:[5]

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

مثلاً فرض کنید زمین کره ای به شعاع 6371 km است مساحت رویهٔ قطب (مدار قطبی در عرض جغرافیایی ۶۶٫۵۶° قرار دارد در اوت 2016[6]) باید 2${\displaystyle \pi }$·6371²|sin ۹۰° − sin 66.56°| = 21.04 million km², or 0.5·|sin ۹۰° − sin 66.56°| = ۴٫۱۲۵٪ از مساحت کل زمین باشد.

همچنین این فرمول نشان می‌دهد که نصف مساحت زمین در ناحیهٔ بین عرض جغرافیایی ۳۰° شمالی و ۳۰° جنوبی قرار دارد.