سه‌تایی فیثاغورثی

یک سه تایی فیثاغورثی شامل سه عدد صحیح مثبت ${\displaystyle a,b}$ و ${\displaystyle c}$ است چنان که ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. چنین سه تایی را اغلب به صورت ${\displaystyle (a,b,c)}$ می نویسند. مثال معروفی از آن ${\displaystyle (3,4,5)}$ است. اگر ${\displaystyle (a,b,c)}$ یک سه تایی فیثاغورثی باشد، آنگاه ${\displaystyle (ka,kb,kc)}$ نیز برای هر عدد صحیح مثبت ${\displaystyle k}$ مجدداً یک سه تایی فیثاغورسیست. یک سه تایی فیثاغورثی اولیه سه تایی است که در آن ${\displaystyle a,b}$ و ${\displaystyle c}$ متباین باشند (یعنی، هیچ مقسوم علیه مشترکی بزرگتر از ۱ نداشته باشند).[1] مثلثی که اضلاع آن تشکیل سه تایی فیثاغورسی دهند را مثلث فیثاغورسی نامند که لزوماً قائم الزاویه خواهد بود.

انیمیشنی که نشانگر نحوه ساخت ساده ترین سه تایی فیثاغورثی ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$ است.

این نام (سه تایی فیثاغورسی) نشأت گرفته از قضیه فیثاغورس است که بیان می دارد، طول اضلاع هر مثلث قائم الزاویه ای در فرمول ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ صدق می کند؛ لذا، سه تایی های فیثاغورسی توصیف گر سه ضلع صحیح یک مثلث قائم الزاویه می باشد. با این حال، مثلث های قائم الزاویه ای که اضلاع صحیح ندارند تشکیل سه تایی فیثاغورثی نمی دهند. به عنوان مثال، مثلثی که اضلاعش به صورت ${\displaystyle a=b=1}$ و ${\displaystyle c={\sqrt {2}}}$ است یک مثلث قائم الزاویه است، اما ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ تشکیل یک سه تایی فیثاغورثی نمی دهد چرا که ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ عدد صحیح نیست.

سه تایی های فیثاغورسی از زمان های باستان شناخته شده بودند. قدیمی ترین سند ثبت شده آن مربوط به پلیمپتون ۳۲۲ است، که یک لوح بابلی از زمان ۱۸۰۰ قبل از میلاد است که در دستگاه اعداد شصت تایی نوشته شده است. این لوح توسط ادگار جیمز بنکس، کمی بعد از ۱۹۰۰ میلادی کشف شد و به جورج آرتور پلیمپتون در ۱۹۲۲ به قیمت ۱۰ دلار فروخته شده.[2]

زمانی که به دنبال جواب های صحیح معادله ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ هستیم، به معادله اخیر معادله سیاله ای می گوییم. لذا سه تایی های فیثاغورثی یکی از قدیمی ترین حل های غیر خطی معادلات سیاله ای (یا معادلات دیوفانتاین، یا معادله دیوفانتینی) هستند.