تابع چندضابطه‌ای

نمودار تابع قدرمطلق ‎ y = |x|‎.

تابع‌های چندضابطه‌ای در نمادگذاری رایج ریاضی، به شکل آرایه‌ای از تابع‌ها و در کنارشان زیردامنهٔ مربوط به آن تابع مشخص می‌شوند. برای نمونه، تابع قدر مطلق را می‌توان به شکل زیر مانند یک تابع چندضابطه‌ای بیان کرد:

${\displaystyle |x|\equiv f(x)={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x<0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$

برای همهٔ مقدارهای x کوچک‌تر از صفر، نخستین تعریف ‎(−x)‎ به کار می‌رود که علامت مقدار ورودی تابع را برعکس می‌کند. برای همهٔ xهای بزرگ‌تر یا برابر با صفر، دومین تابع ‎(x)‎ به کار می‌رود که مقدار ورودی تابع را برمی‌گرداند.

یک تابع چندضابطه‌ای با دو زیرتابع درجهٔ دوی متفاوت در دو سمت ${\displaystyle x_{0}}$.

یک تابع چندضابطه‌ای روی بازهٔ دلخواه پیوسته است اگر شرط‌های زیر برقرار باشد:

• تابع در آن بازه تعریف شده باشد.
• هر یک از زیرتابع‌های آن روی آن بازه پیوسته باشند.
• هیچ ناپیوستگی‌ای در نقاط پایانی زیردامنه‌های تابع روی آن بازه وجود نداشته باشد.

برای نمونه، تابع چندضابطه‌ای در شکل روبه‌رو در زیردامنه‌هایش پیوسته است، ولی در کل دامنه‌اش پیوسته نیست زیرا در نقطهٔ‌ ${\displaystyle x_{0}}$ ناپیوستگی‌ای به شکل جهش دارد.

برای رسم تابع چندضابطه‌ای حواسمان باشد حتما در همان بازه که تابع تعریف می‌شود تابع را رسم کنیم.

نکته: نقاط مرزی را مراقب باشید، زیرا ممکن است در ضابطه‌ای تعریف نشوند و در نمودار آن را باید توخالی رسم کنیم.

مثال: تابع چندضابطه‌ای زیر را رسم کنید.

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x-2&{\mbox{ }}x>2\\5&{\mbox{ }}x=2\\-2x&{\mbox{ }}x<2\\\end{cases}}}$

حل:

برای حل این سوال باید اول نقطه یابی کنید. حتما نقطه گذاریتان در بازه مورد نظر باشد. همه نقاط مرزی پس بدهید اگر در بازه مورد نظر نبود آن نقطه توخالی خواهد بود.

${\displaystyle 2x-2,x>2\rightarrow (2,2),(3,4),(4,6)}$

${\displaystyle -2x,x<2\rightarrow (0,0),(1,-2),(2,-4)}$

مثالی برای تابع چند ضابطه ای

در مثال بالا دیدید که نقاط مرزی توخالی کشیده شدن. پس نقاط مرزی را در نمودار لحاظ میکنیم ولی اگر در دامنه تعریف نشده بود آن را تو خالی میگذاریم.

تابع چند ضابطه ای «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

نمونه‌هایی از تابع‌های چندضابطه‌ای:

• قدر مطلق
• تابع پله، تابع پله‌ای هویساید
• تابع علامت

1. «تابع تکه‌ای‌خطی» [ریاضی] هم‌ارزِ «piecewise linear function»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر هشتم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۶۰۰-۶۱۴۳-۰۸-۸ (ذیل سرواژهٔ تابع تکه‌ای‌خطی)