الگوریتم تبرید شبیه‌سازی‌شده

در هر گام، تبرید شبیه‌سازی‌شده یک حالت همسایه را در نظر می‌گیرد و به صورت احتمالی بین جابه‌جایی به حالت جدید یا ماندن در حالت قبلی تصمیم می‌گیرد. این احتمالات در نهایت سیستم را به سمت حالت‌های با انرژی کمتر هدایت می‌کنند. معمولاً این مرحله آن قدر تکرار می‌شود که سیستم به یک حالت معقول برسد، یا اینکه میزان اعمال محاسباتی از یک حد مشخص عبور کند.

همسایه‌های یک حالت (جواب)، حالت‌های جدیدی از مسئله هستند که با تغییر در حالت کنونی و با توجه به روشی از پیش تعیین شده ایجاد می‌شوند. برای مثال در مسئله فروشندهٔ دوره‌گرد، هر حالت به‌طور کلی یک جایگشت خاص از شهرهایی است که باید ملاقات شوند. همسایهٔ یک جواب، جایگشت‌هایی هستند که با انتخاب یک جفت از شهرهای هم جوار، از کل مجموعه جایگشت‌ها، و جابجا کردن آن دو شهر ایجاد می‌شوند. عمل تغییر در جواب فعلی و رفتن به جواب‌های همسایه «حرکت» (move) خوانده می‌شود و «حرکت»‌های متفاوت، همسایه‌های گوناگون را بدست می‌دهد.

تبرید شبیه‌سازی‌شده در حال جستجوی پاسخ بیشینه. هدف این است که به بالاترین نقطه برسیم. در این مسئله نمیتوان از یک الگوریتم تپه‌نوردی ساده استفاده کرد زیرا تعداد زیادی بیشینه محلی وجود دارد. با استفاده از کاهش تدریجی دما در الگوریتم تبرید شبیه‌سازی‌شده پاسخ سراسری بیشینه یافت می‌شود.

روش‌های ابتکاری ساده مانند تپه‌نوردی، که با یافتن بهترین همسایه بین همسایه‌های بهتر از حالت کنونی حرکت می‌کنند و زمانی متوقف می‌شوند که به حالتی برسند که هیچ همسایهٔ بهتری برای حالت کنونی نباشد، نمی‌توانند تضمین کنند که همیشه به بهترین جواب رسیده‌اند و ممکن است خروجی آن‌ها تنها یک حالت بهینهٔ محلی باشد. الگوریتم‌های فراابتکاری از همسایه‌های یک جواب برای جستجو فضای جواب‌ها استفاده می‌کنند و اگر چه همسایه‌های بهتر را ترجیح می‌دهند، همسایه‌ای بدتر را هم رد نمی‌کنند تا در یک بهینه محلی گرفتار نشوند. نشان‌ داده شده‌است که این الگوریتم‌ها با صرف یک زمان کافی می‌توانند بهترین جواب کلی را پیدا کنند.

احتمال یک انتقال از حالت کنونی مانند ${\displaystyle s}$ به یک حالت کاندید جدید مانند ${\displaystyle {\acute {s}}}$ با یک تابع احتمال پذیرش مثل ${\displaystyle P(e,{\acute {e}},T)}$ مشخص می‌شود که در آن ${\displaystyle e=E(s)}$ و ${\displaystyle {\acute {e}}=E({\acute {s}})}$ است (تابع ${\displaystyle E}$ روی فضای حالت نشان‌دهنده انرژی و ${\displaystyle T}$ نشان‌دهنده دمای متغیر‌‌ با زمان سیستم است). حالات با انرژی کمتر بهتر از حالات با انرژی بالاتر هستند. تابع احتمال ${\displaystyle P}$ باید مثبت باشد حتی زمانی که ${\displaystyle e}$ کوچکتر از ${\displaystyle {\acute {e}}}$ است. این ویژگی تضمین می‌کند که الگوریتم در یک پاسخ محلی بدتر از پاسخ سراسری بهینه گرفتار نشود.

زمانی که ${\displaystyle T}$ به صفر میل می‌کند‌‌‌‌، احتمال ${\displaystyle P}$ یا باید به صفر میل کند (${\displaystyle e}$ کوچیکتر از ${\displaystyle {\acute {e}}}$) یا اینکه به یک عدد مثبت میل کند (${\displaystyle {\acute {e}}}$ کوچکتر از ${\displaystyle e}$). برای مقادیر به اندازه کافی کوچک از ${\displaystyle T}$، سیستم به مرور به سمت نقطه با کمینه انرژی حرکت می‌کند و به سمت نقاط با انرژی بیشتر حرکت نخواهد کرد. با قرار دادن ${\displaystyle T=0}$ مسئله به یک الگوریتم حریصانه تقلیل پیدا می‌کند که تنها به سمت نقاط با انرژی کمتر حرکاتش را انجام می‌دهد.

در صورت اولیهٔ تبرید شبیه‌سازی شده، احتمال ${\displaystyle P(e,{\acute {e}},T)}$ زمانی که ${\displaystyle {\acute {e}}}$ کوچکتر از ${\displaystyle e}$ باشد برابر ۱ می‌شود، که به این معنی است که رویه همیشه مستقل از دما به سمت نقاط پایین‌تر حرکت می‌کند. بسیاری از صورت بندی‌ها و پیاده‌سازی‌های تبرید شبیه‌سازی‌شده همچنان این شرط را به عنوان بخشی از تعریف روش در نظر می‌گیرند‌، اگر چه این شرط برای کارکردن روش الزامی نیست.

تابع ${\displaystyle P}$ همواره به گونه‌ای انتخاب می‌شود که احتمال پذیرش یک حرکت زمانی که تفاوت بین دو حالت کمتر است کاهش یابد، به‌طور مثال حرکات کوچک رو به بالا محتمل‌تر از حرکاتبزرگ هستند. در هر حال، در صورتی که شروط قبلی برقرار باشند، این شرط به‌طور اکید الزامی نیست.

با این تفاسیر، دما نقش اساسی را در کنترل‌کردن تغییرات در سیستم با توجه به حساسیت آن نسبت به تغییرات انرژی ایفا می‌کند. به‌طور دقیق‌تر، در مقادیر بزرگ ${\displaystyle T}$، تغییرات در حالت سیستم نسبت به تغییرات بزرگتری در سیستم حساس است تا زمانی که دما کوچکتر است.

سریع

نام و ایده بنیادین الگوریتم منشا‌ٔگرفته از ویژگی دما است. این ویژگی در واقع به گونه‌ای کنترل می‌شود که دما حین شبیه‌سازی به صورت تدریجی کاهش می‌یابد. الگوریتم با قرار دادن ${\displaystyle T=\infty }$ شروع می‌شود (در واقع دما در ابتدا یک مقدار بزرگ را اختیار می‌کند) و در هر گام طبق یک زمان‌بندی از پیش‌تعیین‌شده کاهش می‌یابد. در تعیین این زمان‌بندی باید توجه داشت که با اتمام‌ منابع مورد استفاده مانند تعداد محاسبات، زمان انجام عملیات‌ها هم تمام شود. برای انجام این کار انتظار می‌رود در ابتدا الگوریتم در فضای بزرگی از پاسخ‌ها و بی‌توجه به تابع انرژی به دنبال جواب بگردد. سپس به سمت مناطق با انرژی کمتر پرش کند و این منطقه به مرور کوچک و کوچکتر شود تا زمانی که سیستم دقیقا به پایین‌ترین نقطه سراسری برسد.

آرام

دو شکل روبرو نشان‌دهندهٔ تأثیر زمان‌بندی تبرید بر کارایی الگوریتم هستند. مسئله بازترتیبی پیکسل‌های یک عکس به منظور کمینه کردن انرژی واقعی تصویر است، که باعث می‌شود رنگ‌های مشابه به هم نزدیک‌تر باشند و رنگ‌های متفاوت در فاصله دورتری از هم قرار بگیرند. دو شکل روبرو از دو زمان‌بندی سریع و آرام در بدست آمده‌اند.

برای هر مسئله با فضای متناهی، احتمال این که الگوریتم تبرید در یک نقطه بهینهٔ سراسری کار خود را تمام کند با افزایش زمان به ۱ میل می‌کند. اگرچه این نتیجهٔ نظری چندان راهگشا نیست زیرا میزان زمانی که لازم است تا احتمال رسیدن به جواب از حدی معقول بیشتر شود معمولاً بیشتر از زمانی است که برای جستجوی کل فضا لازم است.

برای تحقیق در رفتار تبرید شبیه‌سازی‌شده در یک مسئله خاص، توجه به احتمالات گذار که نتیجهٔ انتخاب‌های اولیه در پیاده‌سازی هستند، راهگشا خواهد بود. برای هر یال ${\displaystyle (s,{\acute {s}})}$ در گراف جستجو، احتمال گذار برابر احتمال آن است که الگوریتم به حالت ${\displaystyle {\acute {s}}}$ برود زمانی که حالت کنونی ${\displaystyle s}$ است. این احتمال به دمای کنونی که توسط تابع ${\displaystyle temperature}$ تعیین می‌شود، به ترتیبی که توسط ${\displaystyle neighbor}$ تعیین می‌شود و به تابع احتمال پذیرش ${\displaystyle P}$ بستگی دارد. (دقت کنید که احتمال گذار تنها ${\displaystyle P(e,{\acute {e}},T)}$ نیست زیرا همسایه‌های کاندید در این روش تک تک بررسی می‌شوند.)

تعیین توابع ${\displaystyle neighbour}$، ${\displaystyle temperature}$ و ${\displaystyle P}$ شامل کمی فزون‌کاری است. در عمل تابع ${\displaystyle P}$ برای بسیاری از مسائل یکسان انتخاب می‌شود و دو تابع دیگر با توجه به مسئله تعیین می‌شوند.

در فرمول‌بندی مسئله توسط کریک‌پاتریک و همکاران، تابع ${\displaystyle P(e,{\acute {e}},T)}$ زمانی که ${\displaystyle {\acute {e}}}$ کوچکتر از ${\displaystyle e}$ باشد برابر ۱ و در غیر این صورت برابر ${\displaystyle exp(-({\acute {e}}-e)/T)}$ تعریف می‌شود. این فرمول به صورت سطحی طبق گذارهای یک سیستم فیزیکی توجیه‌پذیر است. در واقع این فرمول‌بندی مطابق الگوریتم متروپلیس-هستینگز است زمانی که ${\displaystyle T=1}$ و توزیع استفاده شده در متروپلیس-هستنیگز متقارن است. با این حال، این احتمال پذیرش اکثرا در تبرید ‌شبیه‌سازی‌شده استفاده می‌شود، حتی زمانی که تابع ${\displaystyle neighbor}$ متقارن نباشد یا حتی زمانی که احتمالاتی نباشد. در نتیجه، احتملالات گذار در الگوریتم تبرید‌ شبیه‌سازی‌شده مطابق گذارهای سیستم فیزیکی مذکور نیستند و در توزیع حالات در بلند مدت در یک دمای ثابت ${\displaystyle T}$ ملزم به شباهت به یک توزیع تعادل ترمودینامیکیروی حالات سیستم فیزیکی در هیچ دمایی نیست. در هر حال، بیشتر صورت‌های تبرید شبیه‌سازی‌شده همان صورت اولیه را انتخاب می‌کنند که احتمالا بارها پیاده‌سازی شده‌است.

در انتخاب تابع ${\displaystyle neighbor}$ باید این را در نظر گرفت که پس از تعداد معقولی تکرار الگوریتم، انتظار می‌رود حالت سیستم، انرژی به مراتب کمتری از حالت ابتدایی داشته باشد. بنابراین به عنوان یک قانون کلی باید تولیدکننده کاندیدها یا همان ${\displaystyle neighbour}$ را به سمت کاندیدی حرکت داد که انرژی حالت جدید ${\displaystyle {\acute {s}}}$، شبیه به انرژی حالت کنونی باشد. این روش فراابتکاری (که اساس الگوریتم متروپولیس-هستینگز هم هست) معمولاً حرکات بسیار خوب و حرکات بسیار بد را حذف میکند. البته بیشتر حرکات بد ممکن هستند تا حرکات خوب و این نشان می‌دهد که الگوریتم تقریباً کارا عمل می‌کند.

برای مثال در مسئله فروشندهٔ دوره‌گرد که پیش‌تر به آن اشاره شد، انتظار می‌رود جابه‌جایی از یک شهر به شهر نزدیک آن در یک گشت با انرژی کم، تأثیر نسبتاً کمی روی تغییر انرژی بگذارد، در حالیکه جابه‌جایی بین دو شهر دلخواه بسیار محتمل تر است که انرژی بیشتری را هزینه کند (منظور از انرژی اینجا همان طول است).

یک بیان دقیق‌تر از این روش فراابتکاری این است که حالات ${\displaystyle {\acute {s}}}$ که برای آن‌ها ${\displaystyle P(e,{\acute {e}},T)}$ بزرگ است را انتخاب کند. بنابراین، در مثال فروشندهٔ دوره‌گرد، می‌توان از ${\displaystyle neighbour}$ ی استفاده کرد که احتمال انتخاب دو شهر برای جابه‌جایی با افزایش فاصله آن‌ها کاهش يابد.

برای انتخاب تابع ${\displaystyle neighbour}$ علاوه بر ملاحظات قبلی باید تلاش کرد تا تعداد کمینه‌های محلی عمیق (حالاتی که به میزان زیادی از همسایه‌هایشان انرژی کمتری دارند) را کاهش داد. چنین نقاطی می‌توانند الگوریتم تبرید‌ شبیه‌سازی‌شده را با احتمال بالایی (تقریبا متناسب با کل تعداد حالات در یک همسایگی) و برای زمان زیادی (تقریبا نمایی بر حسب تفاوت انرژی با همسایه‌ها در همسایگی) به دام بیاندازند.

به عنوان یک اصل، طراحی یک تولیدکننده‌ کاندید که بتواند این هدف را ارضا کند غیرممکن است. به علاوه معمولاً میتوان کارایی تبرید ‌شبیه‌سازی‌شده را با تغییرات ساده در تابع ${\displaystyle neighbour}$ به میزان زیادی افزایش داد.

توجیه فیزیکی که برای تبرید شبیه‌سازی‌شده استفاده می‌شود، فرض می‌کند که نرخ سردکردن به اندازهٔ کافی آرام است به‌طوری‌که توزیع احتمال حالت کنونی همواره نزدیک به تعادل ترمودینامیکی باشد. متاسفانه، زمان سست سازی یا relaxation (زمانی که باید صبر کرد تا تعادل ترمودینامیکی که به دلیل تغییر دما بر هم خورده‌است دوباره برقرار شود) بسیار به شکل تابع انرژی و دمای کنونی وابسته است. در الگوریتم تبرید شبیه‌سازی‌شده، زمان سست سازی همچینین به تابع تولید‌کننده‌ کاندید هم به شکل پیچیده‌ای واسبته است. توجه کنید که تمام این پارامترها معمولاً به عنوان توابع پییچده و نه چندان مشخصی برای الگوریتم تعیین می‌شوند. بنابراین، بهترین نرخ سردسازی (کاهش دما)‌ را نمی‌توان پیش از اجرای الگوریتم تعیین کرد و باید به صورت تجربی برای هر مسئله‌ای به‌طور خاص محاسبته شود. الگوریتم‌های تبرید‌ شبیه‌سازی‌شده تطبقی این مسئله را با ربط دادن زمان‌بندی سرسازی به فرایند جستجو حل می‌کنند.