اسکیم (ریاضیات)

در ریاضیات، یک اسکیم ساختار ریاضیاتی است که مفهوم واریته جبری را به طرق مختلفی تعمیم داده، چندگانگی ها را در نظر گرفته (معادله های x = ۰ و x² = ۰ یک واریته ی جبری را تعریف می کنند در حالی که اسکیم های آن ها متفاوت است) و امکان می دهند که واریته ها بر روی هر حلقه جابجایی تعریف شوند (به عنوان مثال، خم های فرما روی اعداد صحیح تعریف می شوند).

اسکیم ها توسط الکساندر گروتندیک در ۱۹۶۰ در رسالهٔ خود به نام "عناصر هندسه جبری" معرفی شدند. یکی از اهداف این مفهوم توسعه ی فرمالیسم مورد نیاز برای حل عمیق تر مسائل هندسه جبری چون حدس های ویل (که آخرین آن ها توسط گیر دلیگن اثبات شد) بود.[1] نظریه اسکیم که قویاً بر روی جبر جابجایی بنا شده بود، امکان استفاده نظام مند از روش های توپولوژیکی و جبر هومولوژیکی را داد. نظریه ی اسکیم همچنین هندسه جبری را با بخش بزرگی از نظریه اعداد متحد ساخت، که نهایتاً منجر به اثبات وایلز از قضیه آخر فرما گشت.

به طور صوری، یک اسکیم فضای توپولوژیکی است به همراه حلقه های جابجایی برای تمام مجموعه های بازش، که این فضا از بهم چسباندن طیف های (فضاهای ایده‌آل های اول) حلقه های جابجایی به همراه مجموعه های بازشان حاصل می گردد. به زبان دیگر یک فضای حلقه ایست که به صورت موضعی طیفی از یک حلقهٔ جابجایی می باشد.

از نقطه نظر نسبی، اکثر هندسه جبری را باید بتوان از یک مورفیسم X → Y اسکیم ها (به آن اسکیمی از X به روی Y گویند)، به جای یک اسکیم خاص توسعه داد. به عنوان مثال، در مطالعه رویه های جبری، می توان خانواده ای از رویه های جبری را روی هر اسکیم Y ی در نظر گرفت. در بسیاری از موارد، خانواده تمام واریته هایی از یک نوع داده شده را می توان به خودی خود به صورت یک واریته یا اسکیم دید که به آن فضای ماجولی گویند.

توسعه

ریشه های هندسه جبری اکثراً به مطالعه معادلات چند جمله ای بر روی اعداد حقیقی بر می گردد. در قرن نوزدهم میلادی، مشخص شد (به‌خصوص در کار ژان ویکتور پونسله و برنارد ریمان) که هندسه جبری با استفاده از میدان اعداد مختلط، که ویژگی بسته جبری بودن را دارا می باشد، ساده تر می شود.[2] دو مسئله که به مرور توجهات را در اوایل قرن بیستم به خود جلب کردند، مسائلی بودند که از نظریه اعداد برآمدند: چگونه هندسه جبری را می توان بر روی هر میدان جبری بسته، به‌خصوص با مشخصه مثبت توسعه داد؟ (به نظر می آید که ابزار توپولوژی و آنالیز مختلطی که برای مطالعه واریته های مختلط استفاده شدند در اینجا کارایی ندارند.) و سؤال دوم این که در مورد هندسه جبری روی هر میدانی چه می توان گفت؟

قضیه صفر های هیلبرت راهکاری برای هندسه جبری بر روی میدان بسته جبری k ارائه می کند: ایده‌آل های ماکسیمال در حلقه چند جمله ای های $k[x_{1},\cdots ,x_{n}]$ در تناظر یک به یک با مجموعه $k^{n}$ از n-تایی های عناصر k قرار دارند و ایده‌آل های اول در تناظر با مجموعه های جبری تحویل ناپذیر $k^{n}$ هستند که به آن ها واریته های آفینی می گویند. این ایده ها الهام بخش امی نوتر و ولفگانگ کرول در توسعه موضوع جبر جابجایی در اوایل دهه ۱۹۲۰ و ۱۹۳۰ میلادی بودند.[3] کار آن ها هندسه جبری را به سمت و سوی خالص جبری تعمیم داد: به جای مطالعه ایده‌آل های اول در یک حلقه چند جمله ای، می توان ایده‌آل های اول را در هر حلقه ی جابجایی مطالعه کرد. به عنوان مثال، کرول بعد هر حلقه جابجایی را بر حسب ایده‌آل های اول تعریف کرد. او قادر بود اثبات کند حداقل زمانی که یک حلقه نوتری باشد، بسیاری از خواص مطلوبی که از مفهوم هندسی بعد انتظار می رود در مفهوم جبری بعد که او تعریف نموده بود نیز وجود خواهد داشت.

جبر جابجایی نوتر و کرول را می توان به عنوان رویکردی جبری به واریته های جبری آفینی در نظر گرفت. با این حال، بسیاری از بحث های هندسه جبری بر روی واریته های تصویری بهتر عمل می کنند، چرا که اساساً این واریته ها فشرده هستند. از دهه ۱۹۲۰ تا ۱۹۴۰، ون در واردن، آندره ویل و اسکار زاریسکی جبر جابجایی را به عنوان بنیانی جدید برای هندسه جبری برای کار بر روی واریته های تصویری که غنای بیشتری داشتند به کار بردند.[4] به‌خصوص، توپولوژی زاریسکی که یک توپولوژی مفید برای واریته هایی که روی هر میدان جبراً بسته تشکیل می شوند، تا حدی جایگزین توپولوژی کلاسیک روی یک واریته مختلط (بر اساس توپولوژی اعداد مختلط) می شود.

ون در واردن و ویل، هندسه جبری را به منظور کاربرد در نظریه اعداد روی هر میدان دلخواه تعریف کردند، نه لزوماً میدان هایی که بسته جبری باشند. ویل اولین کسی بود که واریته مجرد (نه این که در یک فضای تصویری نشسته باشد) را با چسباندن واریته های آفینی کنار مجموعه های باز، مثل مدل منیفلد ها در توپولوژی، تعریف نمود. او این تعمیم را برای ساخت واریته ژاکوبی از یک خم بر روی هر میدان نیاز داشت (بعد ها ویل، چو و ماتسوساکا نشان دادند که ژاکوبی ها در حقیقت واریته های تصویری هستند.).

هندسه دانان جبری مکتب ایتالیا اغلب از مفهوم نقطه جنریک، که تا حدی مبهم بود، استفاده می کرده اند. اگر خاصیتی در مورد نقطه جنریک صدق کند، آن خاصیت برای "بسیاری" از نقاط آن واریته نیز صدق می کند. در کتاب "بنیاد هندسه جبری (۱۹۴۶)" ویل، نقاط جنریک از مجموعه بسیار بزرگ میدان بسته جبری ساخته می شدند که به آن یک دامنه جهانی گفته می شد.[4] گرچه که این فرایند به گونه ای بنیادین عمل می کرد، اما نکته ای ناشیانه داشت: نقاط جنریک بسیاری برای یک واریته خاص وجود داشت (در نظریۀ اسکیم ها که بعد ها ایجاد شد، هر واریته جبری یک نقطه جنریک منحصر به فرد دارد).

در دهه ۱۹۵۰، کلاود چاولی، ماسایوشی ناگاتا و ژان-پیر سر، از حدس های ویل انگیزه گرفتند تا نظریه اعداد و هندسه جبری را با هم پیوند داده و اشیاء هندسه جبری را بیش از پیش توسعه دهند، به عنوان مثال با تعمیم حلقه های پایه ای مجاز. کلمه ی اسکیم اولین بار در سمینار چاولی در سال ۱۹۵۶ استفاده شد، که در آن چاولی از ایده های زاریسکی پیروی می کرد.[5] بر اساس عقیده پیر کارتیر، این آندره مارتین بود که به سر پیشنهاد کرد که می توان از طیف یک حلقه جابجایی دلخواه به عنوان پایه و زیر بنای هندسه جبری استفاده کرد.[6]

یادداشت ها

مقدمه اولین ویرایش "عناصر هندسه جبری".
Dieudonné (1985), Chapters IV and V.
Dieudonné (1985), sections VII.2 and VII.5.
Dieudonné (1985), section VII.4.
Chevalley, C. (1955–1956), Les schémas, Séminaire Henri Cartan, 8 (5)
Cartier (2001), note 29.

منابع

Arapura, Donu (2011), "Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces", Illinois Journal of Mathematics, 55: 1367–1384, MR 3082873
Cartier, Pierre (2001), "A mad day's work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry", Bulletin of the American Mathematical Society, 38 (4): 389–408, doi:10.1090/S0273-0979-01-00913-2, MR 1848254
Dieudonné, Jean (1985), History of Algebraic Geometry, Wadsworth, ISBN 978-0-534-03723-9, MR 0780183
David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819.
الگو:EGA
Robin Hartshorne (1997) [1977]. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.
Qing Liu (2002). Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850284-5. MR 1917232.
David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. Lecture Notes in Mathematics. 1358 (2nd ed.). Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. MR 1748380.
Vistoli, Angelo (2005), "Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory", Fundamental Algebraic Geometry, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 1–104, arXiv:math/0412512, Bibcode:2004math.....12512V, MR 2223406

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Scheme (Mathematics)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] مقدمه اولین ویرایش "عناصر هندسه جبری".

[2] Dieudonné (1985), Chapters IV and V.

[3] Dieudonné (1985), sections VII.2 and VII.5.

[D74-4] Dieudonné (1985), section VII.4.

[5] Chevalley, C. (1955–1956), Les schémas, Séminaire Henri Cartan, 8 (5)

[6] Cartier (2001), note 29.