چارک (آمار)

فرض کنید متغیر تصادفی X دارای توزیع ${\displaystyle F(x)}$ باشد. پارامتر ${\displaystyle Q_{p}}$را چندک مرتبه p برای ${\displaystyle F(x)}$ یا برای X می‌نامیم، هرگاه نامساوی دو طرفه زیر را داشته باشیم

${\displaystyle P(X<Q_{p})\leq p\leq P(X\leq Q_{p})}$

معنی این نامساوی دو طرفه این است که مقدار احتمال در فاصله باز ${\displaystyle (-\infty ,Q_{p})}$ حداکثر p و در فاصله نیم باز ${\displaystyle (-\infty ,Q_{p}]}$ حداقل p می‌باشد. برحسب اینکه 100p یا 10p یا 4p عدد درست (بدون اعشار، integer) باشد، ${\displaystyle Q_{p}}$ را به ترتیب صدک یا دهک یا چارک می‌نامند. مثلا

• ${\displaystyle Q_{0}.23}$ را صدک بیست و سوم
• ${\displaystyle Q_{0}.4}$ را دهک چهارم می‌نامند.

البته به سه مقدار ${\displaystyle Q_{0}.75}$، ${\displaystyle Q_{0}.50}$،${\displaystyle Q_{0}.25}$ به ترتیب چارک اول (یا چارک پایینی)، میانه و چارک سوم (یا چارک بالایی) گفته می‌شود. اگر ${\displaystyle F(x)}$ پیوسته و اکیدا صعودی باشد، یعنی نمودار آن دارای خطوط افقی یا جهشی نباشد، آنگاه نامساوی بالا تبدیل به تساوی ${\displaystyle F(Q_{p})=p}$ می‌شود و ${\displaystyle Q_{p}}$ پاسخ یکتای معادله زیر می‌باشد:[1]

${\displaystyle F(Q_{p})=\int _{-\infty }^{Q_{p}}f(x)\,dx=p}$

داده‌ها: ۶، ۴۷، ۴۹، ۱۵، ۴۲، ۴۱، ۷، ۳۹، ۴۳، ۴۰، ۳۶
داده‌های مرتب شده (آماره ترتیبی): ۶، ۷، ۱۵، ۳۶، ۳۹، ۴۰، ۴۱، ۴۲، ۴۳، ۴۷، ۴۹

${\displaystyle {\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=40\\Q_{3}=43\end{cases}}}$

برای چگالی زیر چارک اول را محاسبه می‌کنیم:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x&0<x<1\\0&others\\\end{cases}}}$

می‌دانیم که برای چارک اول ${\displaystyle Q_{1}}$ داریم:

${\displaystyle F(Q_{1})=\int _{0}^{Q_{1}}2x\,dx=x^{2}|_{0}^{Q_{1}}=Q_{1}^{2}={\frac {1}{4}}}$

بنابراین ${\displaystyle Q_{1}={\frac {1}{2}}}$