هماهنگهای کروی
در ریاضیات، هماهنگهای کروی بخش زاویهای مجموعهای از جوابهای متعامد برای معادله لاپلاس هستند که در دستگاه مختصات کروی بیان شده است. هماهنگهای کروی کاربردهای نظری و عملی زیادی دارند، به ویژه در محاسبهٔ ترازهای الکترونی اتمها، نمایش میدانهای گرانشی، میدان مغناطیسی سیارات و تابش زمینه کیهانی. در گرافیک رایانهای سهبعدی، هماهنگهای کروی نقش خاصی را در مسائل گوناگونی بازی میکنند، مانند نورپردازی غیرمستقیم و تشخیص اشیای سهبعدی.
مقدمه
معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل زیر است:
با تبدیل f(r,θ،φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ) ، بخش زاویهای معادلهٔ لاپلاس در شرط زیر صدق میکند:
با بهکاربردن روش جداسازی متغیرها به دو معادله دیفرانسیل زیر میرسیم:
برای هر m و l. بنابراین میتوان نشان داد که بخش زاویهای جواب، حاصلضرب توابع مثلثاتی و توابع وابسته لژاندر هستند:
که در آن هماهنگ کروی درجهٔ و مرتبهٔ m خوانده میشود و تابع وابسته لژاندر است، N ثابت بهنجارش است و θ و φ به ترتیب زاویه با محور z (متمم عرض جغرافیایی) و زاویهٔ قطبی (طول جغرافیایی) هستند.
منابع
- E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co., ISBN 978-0-8284-0104-3.