نقاط هم‌دایره

عمود منصف پاره خط بین دو نقطه روی یک دایره از مرکز دایره می‌گذرد.[1]برای n نقطه روی یک دایره اگر به صورت متوالی نقاط را به هم وصل کنیم n(n − ۱)/۲ پاره خط و بالتبع همین تعداد عمود منصف گذرنده از مرکز دایره داریم.

همهٔ مثلث‌ها محاطی اند، به همین علت از این لحاظ دسته‌بندی نمی‌شوند.[2]به دایره‌ای که رئوس مثلث بر آن واقع اس، محیطی گویند و رابطهٔ شعاع آن با اضلاع مثلث به صورت زیر است:

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}.}$

وقتی رئوس چهار ضلعی'ABCD' هم‌دایره باشند، به چهارضلعی محاطی گویند. که وقتی رخ می‌دهد که ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$ (قضیه زاویه محاطی) و زاویه‌های متقابل مکمل باشند.[3] همچنین اگر s= (a+b+c+d)/2 نمایندهٔ نصف محیط چهار ضلعی باشد خواهیم داشت:[4][5]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}},}$

که پارامشوارا ریاضی‌دان هندی در قرن ۱۵ آن را بدست آورد.

همچنین بر اساس قضیه بطلمیدوس اگر قطرهای چهارضلعی را داشته باشیم، چهارضلعی محاطی است، اگر و تنها اگر:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$

همچنین اگر قطرها یکدیگر را در نقطهٔ X قطع کنند. چهارضلعی محیطی است، اگر و تنها اگر[6]

${\displaystyle \displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$

همچنین یک چهارضلعی محاطی است، اگر و تنها اگر عمود منصف اضلاع همرس باشند.[7]

برخی بر این باورند که نقاط هم راستا هم هم‌دایره اند بر روی دایره‌ای با شعاع بی‌نهایت.

یک چند ضلعی محاطی است، اگر و تنها اگر هر ۴ راس آن یک چهارضلعی محاطی باشد.[8]