مثال نقض

به مثالی که کلیّت یک حکم را از بین میبرد مثال نقض میگویند. در زبان انگلیسی به این روش از اثبات "Counterexample " گفته می شود.

- با استفاده از مثال نقض ثابت میکنیم که یک حکم همواره درست نیست.

- اگر یک حکم فقط برای یک مثال،نادرست باشد؛درستی آن حکم نقض میشود.

مثالی که نشان میدهد یک حکم کلی یا یک ادعا نا درست است را مثال نقض میگوییم در منطق و به طور ویژه ریاضیات و فلسفه، مثال نقض یا پادنمونه استثنایی است که در برابر یک حکم کلی بیان می‌شود.

برای مثال در جمله تمام دانش‌آموزان تنبل هستند چون تنبلی به همه دانش‌آموزان نسبت داده شده است اگر تنها یک دانش‌آموز پرتلاش وجود داشته باشد مثال نقض حکم کلی خواهد بود و حکم نادرست است.در واقع با یک مثال حکمی را نقض میکنیم که به آن مثال نقض میگویند.نکته اینجاست که با مثال میتوان نقض کرد ولی با مثال نمیتوان اثبات کرد که این مورد در هندسه مثال بسیار دارد.

به مثال هایی از این دست دقت بفرمایید ː

مثال ːحاصل ضرب هر دو عدد گنگ،عددی گنگ است

${\sqrt {2}}\times {\sqrt {8}}={\sqrt {1}}6=4\not \in Q^{c}$

می بینید که حاصل ضرب دو عدد بالا یک عدد گویا شده است ، پس می توان این حکم کلی را رد کرد. در جقیقت به کمک یک مثال نقض توانسته این نادرستی یک حکم را ثابت کنیم.

مثالː تفریق دو عدد طبیعی،عددی طبیعی است.

این حکم صحیح نیست زیرا می توان به عنوان مثال نقض $5-12=-7\not \in \mathbb {N}$ عنوان کرد و نادرستی حکم را ثابت کرد.

مثالː $\forall x\in \mathbb {R} :x^{2}\geq x$ یا مربع هر عدد بزرگتر یا مساوی آن است. می توان به عنوان مثال نقض عدد یک دهم را در نظر گرفت که این حکم کلی را نقض می کند. $x=0.1\to x^{2}=0.01\implies x^{2}\not \geq x$

مثال معروف و تاریخی

فرما ادعا کرده بود که $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ همواره عدد اول می دهد .البته به ازای مقادیر یک و دو سه و چهار همینطور است اما بعدا لئونهارت اویلر نشان داد که به ازای $n=5$ حاصل عدد $4294967297$ خواهد بود که عدد اولی نیست زیرا بر عدد $641$ تقسیم صحیح می شود. یعنی در واقع این ادعا به کمک یک مثال نقض رد شد.

${F_{0}}=3,{F_{1}}=5,{F_{2}}=17,{F_{3}}=257{\rm {,}}{F_{4}}=65537$

منابع

Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted: Counterexamples in Analysis. Corrected reprint of the second (1965) edition, Dover Publications, Mineola, NY 2003, ISBN 0-486-42875-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.