قانون متوازی الاضلاع

در متوازی‌الأضلاع سمت چپ، داریم: ${\displaystyle AD=BC=a,AB=DC=b,\angle BAD=\alpha }$. با استفاده از قانون کسینوس ها در مثلث ${\displaystyle \bigtriangleup {BAD}}$، بدست می آوریم:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}}$

در متوازی‌الأضلاع، زاویه های مجاور مکمل اند، لذا داریم ${\displaystyle \angle ADC=180\deg -\alpha }$. با استفاده از قانون کسینوس ها در مثلث ${\displaystyle \bigtriangleup ADC}$ بدست می آوریم:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}}$

با اعمال اتحاد مثلثاتی ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$ به سمت چپ عبارت بالا، به معادله ی زیر می رسیم:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}}$

اکنون جمع مربعات ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$ برابر خواهد بود با:

${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )}$

که بعد از ساده سازی به عبارت زیر می رسیم:

${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}}$

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Parallelogram Law». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.