سوکل

در بستر نظریه گروه، سوکل یک گروه ${\displaystyle G}$ به صورت ${\displaystyle \mathrm {soc(G)} }$ مشخص می شود. سوکل یک گروه زیر گروه تولید شده توسط زیرگروه های نرمال مینیمال ${\displaystyle G}$ است. ممکن است یک گروه هیچ زیر گروه نرمال غیر بدیهی مینیمالی نداشته باشد (یعنی، هر زیر گروه نرمال مینیمال سره شامل زیر گروه دیگری با همین مشخصات است) و در آن صورت، سوکل به صورت زیر گروه تولید شده توسط عنصر همانی تعریف می شود. سوکل یک گروه، ضرب مستقیم زیر گروه های نورمال کمینه است.[1]

به عنوان مثال، گروه دوری ${\displaystyle \mathbb {Z_{12}} }$ با مولد ${\displaystyle \mathrm {u} }$ را در نظر بگیرید، که دو زیر گروه نرمال کمینه دارد، یکی از آن ها توسط ${\displaystyle \mathrm {u^{4}} }$ تولید شده (که منجر به تولید زیرگروه نرمالی با 3 عضو می شود) و دیگری توسط ${\displaystyle \mathrm {u^{6}} }$ (که زیر گروه نرمالی با 2 عضو تولید می کند). لذا سوکل ${\displaystyle \mathbb {Z_{12}} }$ گروهی است که توسط ${\displaystyle \mathrm {u^{4}} }$ و ${\displaystyle \mathrm {u^{6}} }$ تولید شده که در اصل گروهی است که توسط ${\displaystyle \mathrm {u^{2}} }$ تولید شده است.

سوکل یک زیر گروه مشخصه است، لذا یک زیر گروه نرمال است. سوکل لزوماً به طور متعدی نرمال نیست (یعنی لزوماً زیر گروه های آن در کل گروه نرمال نیست).

اگر یک گروه مثل ${\displaystyle \mathrm {G} }$ گروهی حلپذیر متناهی باشد، آنگاه سوکل آن را می توان به صورت ضرب ${\displaystyle \mathrm {p} }$-گروه های آبلی مقدماتی بیان کرد. لذا، در این حالت، سوکل صرفاً به صورت کپی هایی از ${\displaystyle \mathbb {Z/pZ} }$ برای ${\displaystyle \mathrm {p} }$ های مختلف می باشد که یک ${\displaystyle \mathrm {p} }$ خاص ممکن است چند بار در ضرب ظاهر شود.

در بستر نظریه مدول و نظریه حلقه ها، سوکل یک مدول ${\displaystyle \mathrm {M} }$ بر روی حلقه ای چون ${\displaystyle \mathrm {R} }$ به صورت جمع زیرمدول های ناصفر مینیمالی از ${\displaystyle \mathrm {M} }$ تعریف می شود. مفهوم سوکل مدول را می توان به عنوان دوگان مفهوم رادیکال یک مدول در نظر گرفت. به زبان نظریه مجموعه ها:

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum \{N\mid N{\text{ is a simple submodule of }}M\}.}$

یا به طور معادل:

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap \{E\mid E{\text{ is an essential submodule of }}M\}.}$

سوکل یک حلقه مثل ${\displaystyle \mathrm {R} }$ را می توان به دو مجموعه در حلقه نسبت داد. با در نظر گرفتن ${\displaystyle \mathrm {R} }$ به عنوان ${\displaystyle \mathrm {R} }$-مدول راست، ${\displaystyle \mathrm {soc(R_{R})} }$ تعریف می شود، و با در نظر گرفتن ${\displaystyle \mathrm {R} }$ به عنوان ${\displaystyle \mathrm {R} }$-مدول چپ، ${\displaystyle \mathrm {soc(_{R}R)} }$ تعریف می شود. هردوی این سوکل ها ایده‌آل هایی از حلقه هستند و مشخص شده که لزوماً با هم برابر نیستند.

• اگر ${\displaystyle \mathrm {M} }$ یک مدول آرتینی باشد، ${\displaystyle \mathrm {soc(M)} }$ خود یک زیرمدول اساسی از ${\displaystyle \mathrm {M} }$ است.
• یک مدول نیم ساده است اگر و تنها اگر ${\displaystyle \mathrm {soc(M)=M} }$. حلقه هایی که در آن ها برای تمام ${\displaystyle \mathrm {M} }$ ها داشته باشیم ${\displaystyle \mathrm {soc(M)=M} }$ دقیقاً حلقه های نیم ساده اند.
• ${\displaystyle \mathrm {soc(soc(M))=soc(M)} }$
• ${\displaystyle \mathrm {M} }$ یک مدول متناهیاً هم-تولید شده (cogenerated) است اگر و تنها اگر ${\displaystyle \mathrm {soc(M)} }$ متناهیاً تولید شده و ${\displaystyle \mathrm {soc(M)} }$ زیرمدولی اساسی از ${\displaystyle \mathrm {M} }$ باشد.
• از آنجا که جمع مدول های نیم ساده، نیم ساده است، سوکل یک مدول را می توان به صورت یک زیرمدول نیم ساده ی ماکسیمال نیز تعریف کرد.
• از تعریف ${\displaystyle \mathrm {rad(R)} }$ به راحتی می توان دید که ${\displaystyle \mathrm {rad(R)} }$ قادر به نابود کردن ${\displaystyle \mathrm {soc(R)} }$ است. اگر ${\displaystyle \mathrm {R} }$ یک جبر یک دار متناهی بعدی، و ${\displaystyle \mathrm {M} }$ یک ${\displaystyle \mathrm {R} }$-مدول متناهی تولید شده باشد، آنگاه سوکل دقیقاً شامل عناصری است که توسط رادیکال جیکوبسن ${\displaystyle \mathrm {R} }$ نابود می شود.[2]

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Socle (Mathematics)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.