ساختار ریز

به شکل کلاسیک، جمله انرژی جنبشی هامیلتونی عبارت است از

${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}},}$

که ${\displaystyle p}$ تکانه و ${\displaystyle m}$ جرم الکترون است.

اما وقتی نظریه دقیقتری در مورد طبیعت مانند نسبیت خاص را در نظر بگیریم، باید از شکل نسبیتی انرژی جنبشی استفاده کنیم

${\displaystyle T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2},}$

که جمله نخست آن کل انرژی نسبیتی و جمله دوم انٰرژی سکون الکترون است (${\displaystyle c}$ سرعت نور است). با بسط این معادله در یک سری تیلور (به طور خاص یک سری دوجمله‌ای)، به این عبارت می‌رسیم

${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\cdots .}$

بنابراین اصلاح مرتبه اول هامیلتونی

${\displaystyle H_{\mathrm {kinetic} }=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.}$

است. با استفاده از این به عنوان یک اغتشاش می‌توانیم اصلاحات مرتبه اول انرژی ناشی از آثار نسبیتی محاسبه کنیم :

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle \psi ^{0}\right\vert H'\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{4}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle }$

که ${\displaystyle \psi ^{0}}$ تابع موج بدون اختلال است. با یادآوری هامیلتونی بدون اختلال، خواهیم دید که

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle &=2m(E_{n}-V)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \end{aligned}}}$

می‌توانیم از این نتیجه استفاده کنیم تا محاسبه بیشتری در مورد اصلاحات نسبیتی انجام دهیم:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\left\langle V^{2}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$

برای اتم هیدروژن، ${\displaystyle V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$, ${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle ={\frac {1}{a_{0}n^{2}}}}$ و ${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle ={\frac {1}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}}$ که ${\displaystyle a_{0}}$ شعاع بور است، ${\displaystyle n}$ عدد کوانتومی اصلی و ${\displaystyle l}$ عدد کوانتومی سمتی است. بنابراین اصلاح مرتبه اول نسبیتی برای اتم هیدروژن عبارت است از:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}{\frac {1}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{4}}{(l+{\frac {1}{2}})n^{3}a_{0}^{2}}}\right)\\&=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+{\frac {1}{2}}}}-3\right)\end{aligned}}}$

که در آن از

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {e^{2}}{2a_{0}n^{2}}}}$

استفاده کرده‌ایم. در محاسبه نهایی، مرتبه بزرگی برای اصلاح نسبیتی به حالت پایه ${\displaystyle -9.056\times 10^{-4}\ {\text{eV}}}$ است.

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.