ذره آزاد

یک ذرهٔ آزاد کوانتومی توسط معادلهٔ شرودینگر توصیف می‌شود

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$

که در آن ψ تابع موج ذره در مکان r و زمان t است. جواب معادله برای برای ذره‌ای با تکانهٔ p یا بردار موج k در بسامد زاویه‌ای ω یا انرژی E با موج تخت مختلط بدست می‌آید:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$

که در آن A دامنه است. برای تمام ذرات کوانتومی آزاد یا محدود شده، اصل عدم قطعیت هایزنبرگ:

${\displaystyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

(بطور مشابه برای جهت‌های y وz) و رابطهٔ دوبروی

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,\quad E=\hbar \omega }$

برقرار است. از آنجا که انرژی پتانسیل صفر در نظر گرفته شده‌است، انرژی کل E برابر است با انرژی جنبشی، که رابطه‌ای مشابه حالت کلاسیک دارد:

${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$