تمامیت (منطق)

یک زبان صوری از نظر رسایی تام است اگر بتواند موضوعی که برای آن در نظر گرفته شده‌است را تبیین کند.

مجموعه‌ای از رابط‌های منطقی در ارتباط با یک سیستم صوری تابعاً تام است اگر بتواند بیان همه توابع گزاره‌ای (یا گزاره‌نماها) را تببین کند.

تمامیت معنایی، معکوس صحت برای سیستم‌های صوری است. یک سیستم صوری نسبت به همانگویِگی (به انگلیسی: tautologousness) کامل، یا «از نظر معناشناختی کامل» است هرگاه تمام همان‌گویی‌هایش قضیه باشند؛ در حالی که یک سیستم صوری، «صحیح» (به انگلیسی: sound) است اگر تمام قضیه‌هایش همان‌گویی باشند (یعنی از نظر معنایی، فرمول‌های معتبری باشند: فرمول‌هایی که تحت هر تعبیر از زبانِ سیستمی که با قوانین سیستم سازگاراست، صادق اند). یعنی،

${\displaystyle \models _{\mathcal {S}}\varphi \ \to \ \vdash _{\mathcal {S}}\varphi .}$[1]

برای مثال، قضیه تمامیت گودل تمامیت معنایی را برای منطق مرتبه اول برقرار می‌سازد.

یک سیستم صوری S قویاً' کامل' یا تام به معنی قوی است اگر برای هر مجموعه از مفروضات Γ، هر فرمولی که از نظر معنایی از Γ استخراج می‌شود، از Γ استنتاج هم شود. یعنی:

${\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {S}}\varphi \ \to \ \Gamma \vdash _{\mathcal {S}}\varphi .}$

یک سیستم صوری S نحواً کامل' یا به صورت استقرایی کامل یا کامل حداکثری است، اگر برای هر جمله (فرمول بسته) φ از زبانِ سیستم، یا φ یا φ¬ قضیه‌ای از S باشد. این، همچنین تمامیت نفی نامیده می‌شود و قوی تر از تمامیت معنایی است. به بیان دیگر، یک سیستم صوری به نحواَ'کامل استاگر و تنها اگر هیچ جمله اثبات ناپذیری را نتوان بدون نتیجه دادن ناسازگاری به آن اضافه کرد. منطق گزاره ای ارزش صدقی ومنطق محمولات مرتبه اول از نظر معنایی کاملند؛ اما نحواَ کامل نیستند (برای مثال، یک گزارهٔ منطق گزاره‌ای که شامل یک متغیر گزاره‌ای A، یک قضیه نیست؛ نقیضش هم نیست) قضیه ناتمامیت گودل نشان می‌دهد که هر سیستم بازگشتی که به اندازه کافی قویست، همانند حساب پئانو، نمی‌تواند هم سازگار باشد و هم نحواَ کامل.

در منطق ابرشهودگرایی و منطق موجهات، یک منطق را از نظر ساختاری تام گویند اگر قاعده مُجازی قابل استنتاج باشد.