تعادل همبسته

یک بازی استراتژیک با ${\displaystyle N}$ بازیکن ${\displaystyle \displaystyle (N,A_{i},u_{i})}$ با یک مجموعه استراتژی ${\displaystyle A_{i}}$ و یک تابع مطلوبیت ${\displaystyle u_{i}}$ برای هر بازیکن ${\displaystyle i}$ تعریف می‌شود. وقتی بازیکن ${\displaystyle i}$ استراتژی${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ را انتخاب و باقی بازیکنان استراتژی ${\displaystyle a_{-i}}$ را انتخاب می‌کنند، مطلوبیت بازیکن ${\displaystyle i}$ برابر با ${\displaystyle \displaystyle u_{i}(a_{i},a_{-i})}$ خواهد بود.

تغییر استراتژی برای بازیکن ${\displaystyle i}$ با تابع: ${\displaystyle \phi _{i}\colon A_{i}\to A_{i}}$ تعریف می‌شود. تابع ${\displaystyle \phi _{i}}$ به بازیکن ${\displaystyle i}$ می‌گوید تا رفتار خود را با عمل ${\displaystyle \phi _{i}(a_{i})}$ هنگامی که دستور بازی ${\displaystyle a_{i}}$ داده می‌شود تعویض کند.

فرض کنید که ${\displaystyle (\Omega ,\pi )}$ یک فضای احتمال شمارا باشد. برای هر بازیکن ${\displaystyle i}$ ، ${\displaystyle P_{i}}$ پارتیشن اطلاعات این بازیکن ، ${\displaystyle q_{i}}$ احتمال بسین ${\displaystyle i}$ و ${\displaystyle s_{i}\colon \Omega \rightarrow A_{i}}$ همان مقدار موجود در ${\displaystyle P_{i}}$ که متناسب با هر رخداد است را اختصاص می‌دهد. در این صورت ${\displaystyle ((\Omega ,\pi ),P_{i},s_{i})}$ یک تعادل همبسته برای بازی استراتژیک${\displaystyle (N,A_{i},u_{i})}$ است اگر برای هر بازیکن ${\displaystyle i}$ و هر تغییر استراتژی ${\displaystyle \phi _{i}}$ نامساوی زیر برقرار باشد:

${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega )u_{i}(s_{i}(\omega ),s_{-i}(\omega ))\geq \sum _{\omega \in \Omega }q_{i}(\omega )u_{i}\left(\phi _{i}\left(s_{i}(\omega )\right),s_{-i}(\omega )\right)}$

به عبارت دیگر، ${\displaystyle ((\Omega ,\pi ),P_{i})}$ یک تعادل همبسته است اگر هیچ بازیکنی نتواند مطلوبیت مورد انتظار خود را از طریق تغییر استراتژی بهبود بخشد.

یکی از مزایای تعادل‌های همبسته این است که از نظر محاسباتی از تعادل نش هزینه کمتری دارند. یک روش توجیه این مزیت این است که محاسبه یک تعادل همبسته فقط به حل یک برنامه‌ریزی خطی نیاز دارد در حالی که حل تعادل نش مساوی با یافتن یک نقطه ثابت است.[3]