تبدیل لاپلاس معکوس

اگر ${\displaystyle F(s)}$ تبدیل لاپلاس تابع ${\displaystyle f(t)}$ باشد یعنی ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)}$، آنگاه ${\displaystyle f(t)}$ را تبدیل لاپلاس معکوس ${\displaystyle F(s)}$ می‌نامند و به صورت ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L^{-1}}}\{F(s)\}}$ نمایش می‌دهند.[1]

تبدیل لاپلاس معکوس را می‌توان با استفاده از انتگرال مختلط زیر که به انتگرال برومویچ یا انتگرال فوریه–ملین مشهور است محاسبه کرد:[2]

که در آن ${\displaystyle F(s)}$ یک تابع تحلیلی با متغیر مختلط ${\displaystyle s}$ و ${\displaystyle \gamma }$ یک ثابت حقیقی است. ${\displaystyle \gamma }$ به گونه‌ای انتخاب می‌شود که همهٔ نقاط تکین تابع ${\displaystyle F(s)}$ در سمت چپ خط ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(s)=\gamma }$ قرار بگیرند.[3][4]

تبدیل لاپلاس معکوس همانند تبدیل لاپلاس یک تبدیل خطی است، یعنی:[5]