چهاربردار

در فیزیک کلاسیک بردارها ${\displaystyle {\bf {x}}}$ سه بعدی و در سه بعد (x, y, z) هستند.

در نظریه نسبیت بردارها ${\displaystyle {\bf {X}}}$ علاوه بر آنکه شامل سه بعد مکانی ${\displaystyle x,y,z}$ هستند شامل یک بعد زمانی ${\displaystyle t}$ نیز هستند. ما چهار بردار مکان-زمان را به شرح زیر تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle x^{\mu }=(ct,{\bf {x}})}$ که در آن ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$

• ${\displaystyle x^{0}=ct}$
• ${\displaystyle x^{1}=x}$
• ${\displaystyle x^{2}=y}$
• ${\displaystyle x^{3}=z}$

بر حسب ${\displaystyle x^{\mu }}$ تبدیلات لورنتس شکل متقارن تری به خود می‌گیرند:

• ${\displaystyle x'^{0}=\gamma (x^{0}-\beta x^{1})}$
• ${\displaystyle x'^{1}=\gamma (x^{1}-\beta x^{0})}$
• ${\displaystyle x'^{2}=x^{2}}$
• ${\displaystyle x'^{3}=x^{3}}$

که در آن‌ها ${\displaystyle \beta ={\frac {u}{c}}}$ پارامتر سرعت و ${\displaystyle \gamma }$ عامل لورنتس هستند.

ضریب‌های ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$ را می‌توان به عنوان عناصری از یک ماتریس Λ دانست:

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

برای اینکه نخواهیم از علامت جمع بندی Σ استفاده کنیم میتوانیم از قرارداد جمع انیشتین استفاده کنیم که می گوید نمادهای یونانی تکراری را می‌توان از ۰ تا ۳ جمع کرد, در نهایت معادله فشرده تبدیلات لورنتس می‌شود:

${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }}$

بعنوان مثال:

• ${\displaystyle x'^{0}=\Lambda _{\nu }^{0}x^{\nu }}$
• ${\displaystyle x'^{0}=\Lambda _{0}^{0}x^{0}+\Lambda _{1}^{0}x^{1}+\Lambda _{2}^{0}x^{2}+\Lambda _{3}^{0}x^{3}}$

در فیزیک کمیتی که در هر سیستم اینرسی دارای همان مقدار می‌باشد را به نام ناوردا می نامند، (به عنوان مثال کمیت ${\displaystyle {\bf {x\cdot x}}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ در چرخش‌ها ناوردا می‌باشد.)

معادله فشرده ناوردای لورنتس با قرارداد جمع انیشتین می‌شود:

${\displaystyle I=g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=x_{\mu }x^{\mu }}$

(نکته: چهار بردار اصلی را با اندیس بالا نمایش می دهند و آن را را چهار بردار پادوردا می نامند، تمام این عملیات بی‌گمان با مهارت خیلی زیاد در فرمول‌نویسی ظاهر می‌شوند فقط به خاطر اینکه سه علامت منفی در ناوردای لورنتس را از بین ببریم.)

اجزاء تنسور متریک ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ را می‌توان به صورت یک ماتریس g نشان داد:

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

چهار بردار هموردا را به شکل زیر و با اندیس پایین تعریف می کنیم: ${\displaystyle x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\nu }=(ct,-{\bf {x}})}$

(نکته: در سیستم‌های مختصات غیر دکارتی و در فضاهای خمیده نسبیت عام اجزاء تنسور متریک تغییر می‌کنند.)

چهار بردار مکان-زمان ${\displaystyle x^{\mu }}$ برای تمام چهار بردارها یک الگو می‌باشد. به عنوان مثال ما یک چهار برداری ${\displaystyle a^{\mu }}$ را به عنوان یک چیز چهار مؤلفه‌ای بهمان طریق ${\displaystyle x^{\mu }}$ تبدیل می‌شود، زمانی که از یک سیستم اینرسی به سیستم دیگر می رویم با همان ضریب ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$ تعریف می کنیم:

${\displaystyle a'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }a^{\nu }}$

برای هر کدام از چنین چهار بردارهای پادوردایی ${\displaystyle a^{\mu }}$ می‌توان یک چهار برداری هموردا ${\displaystyle a_{\mu }}$ نسبت داد که به سادگی با تغییر علامت مؤلفه‌های فضائی بدست آمده‌است:

${\displaystyle a_{\mu }=g_{\mu \nu }a^{\nu }}$

همچنین می‌توان از چهار برداری هموردا بوسیله معکوس کردن دوباره علائم به چهار بردار پادوردا برگردیم:

${\displaystyle a^{\mu }=g^{\mu \nu }a_{\mu }}$

(نکته: چونکه ماتریس g عکس خودش می‌باشد.)

اگر شما از نوشتن نمادها خسته می شوید می‌توانید از علامت نقطه استفاده کنید:

${\displaystyle I={\bf {X\cdot X}}=x_{\mu }x^{\mu }=c^{2}t^{2}-{\bf {x\cdot x}}}$

توجه کنید که ناوردای لورنتسی ${\displaystyle I={\bf {X\cdot X}}}$ لزوماً مثبت نیست، در واقع ما می‌توانیم تمام چهار برداری‌ها را به علامت به سه دسته طبقه‌بندی کنیم:

• ${\displaystyle x^{\mu }}$ را زمان-گونه (شبه زمان) می نامیم اگر: ${\displaystyle I>0}$
• ${\displaystyle x^{\mu }}$ را فضا-گونه (شبه فضا) می نامیم اگر : ${\displaystyle I<0}$
• ${\displaystyle x^{\mu }}$ را نور-گونه (شبه نور) می نامیم اگر: ${\displaystyle I=0}$

مرحله انتقال از بردارها تا تنسورها مرحله کوتاهی است، یک تنسور درجه دوم ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$ حامل دو اندیس و دارای (۴×۴=۱۶)جزء بوده و با دو ضریب Λ تبدیل می‌شود:

${\displaystyle S'^{\mu \nu }=\Lambda _{\alpha }^{\mu }\Lambda _{\beta }^{\nu }S^{\alpha \beta }}$

(نکته: در حقیقت یک بردار ${\displaystyle x^{\mu }}$ تنسور درجه یک و یک ناوردا ${\displaystyle I}$ تنسور درجه صفر می‌باشد.)

• تنسور درجه صفر را اسکالر می نامند: ${\displaystyle I}$
• تنسور درجه یک را بردار می نامند: ${\displaystyle x^{\mu }}$
• تنسور درجه دو: ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$
• تنسور هموردا: ${\displaystyle S_{\mu \nu }=g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }S^{\alpha \beta }}$
• تنسور مخلوط: ${\displaystyle S_{\alpha }^{\mu }=g_{\alpha \nu }S^{\mu \nu }}$

توجه کنید که حاصل‌ضرب دو تنسور، خودش یک تنسور می‌شود.

• نظریه نسبیت
• نسبیت خاص
• فیزیک ذرات بنیادی
• چهار سرعت
• چهار تکانه
• چهار شتاب
• چهار نیرو
• هموردایی لورنتز
• نظریه نسبیت عام

• مقدمه‌ای بر ذرات بنیادی/نویسنده دیوید گریفیت؛ برگرداننده نادر قهرمانی.
• شابک:8 شابک ‎۹۶۴−۸۱۴۲−۷۱−۸