نیمبر

مقدار کمینه ناموجود(mex) یک مجموعه دلخواه ${\displaystyle S}$ از اعداد ترتیبی برابر است با کوچکترین عددی که در مجموعه ظاهر نمی‌شود. این عملگر در تعریف ضرب و جمع برای نیمبرها سودمند خواهد بود.

جمع روی نیمبرها به صورت بازگشتی و با استفاده از قاعده زیر تعریف می‌شود.

${\displaystyle \alpha \oplus \beta =mex(\{\alpha ^{\prime }\oplus \beta$ :\alpha ^{\prime }<\alpha \}\cup \{\alpha \oplus \beta ^{\prime }:\beta ^{\prime }<\beta \})}

ضرب نیز به صورت بازگشتی تعریف می‌شود و از قاعده زیر استفاده می‌کند:

${\displaystyle \alpha \beta =mex(\{\alpha ^{\prime }\beta +allpha\beta ^{\prime }+\alpha ^{\prime }\beta ^{\prime }:\alpha ^{\prime }<\alpha ,\beta ^{\prime }<\beta \})}$