نقطه بحرانی (ریاضیات)

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، نقطهٔ بحرانی یک تابع با متغیرهای حقیقی، نقطه‌ای درونی در دامنه تابع است که آن تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نبوده یا مشتق آن برابر صفر باشد.[1]

مختص افقی دایره‌های قرمز، نقاط سکون و مربع‌های آبی، نقاط عطف هستند.

مقدار تابع در نقطه بحرانی، مقدار بحرانی آن تابع نامیده می‌شود. این تعریف به توابع با چند متغیر، نگاشت‌های مشتق‌پذیر بین R^m و Rⁿ و خمینه‌های مشتق‌پذیر قابل تعمیم است.

ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند و نقاط ابتدا و انتها بازه نیز جزو نقاط بحرانی محسوب می‌شوند. در ضمن، اگر تابع ${\displaystyle f\!}$ روی ${\displaystyle [a,b]\!}$ تعریف شده باشد و نقطهٔ ${\displaystyle c\!}$ درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه ${\displaystyle c\!}$ نقطهٔ بحرانی ${\displaystyle f\!}$ است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی ${\displaystyle f\!}$ نقطهٔ بحرانی ${\displaystyle f\!}$ نیز هست، در صورتیکه یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.