مقدار اصلی کوشی

بسته به نوع تکینگی در انتگرالده f, مقدار اصلی کوشی به یکی از شکل‌های زیر تعریف می‌شود.:

• عدد معین

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\right]}$

که در آن b نقطه‌ای است که رفتار تابع f بدین‌گونه است

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$

که برای هر a < b و

${\displaystyle \int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty }$

و برای هر c > b

یا

• عدد معین

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x}$

که

${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty }$

و

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty }$

در بعضی موارد نیاز است که این دو حالت هر دو با هم بر انتگرال اثر داده شوند.

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0+}\left[\int _{b-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\varepsilon }}}f(x)\,\mathrm {d} x\right].}$

• آگوستین لویی کوشی
• تبدیل هیلبرت