معادلات میدان اینشتین

معادلات میدان اینشتین (EFE) یا معادلات اینشتین، ۱۰ معادله تنسوری است که آلبرت اینشتین برای اولین بار در سال ۱۹۱۵ در نظریه نسبیت عام خود برای تشریح مبانی اساسی برهمکنشهای گرانشی که در نتیجه انحنای فضا-زمان توسط ماده یا انرژی به وجود می‌آیند ارائه داده‌است. مبنای اعتقادی برای تنظیم این معادله برای رد جاذبه نیوتنی این است که عامل جذب اجسام سبک‌تر توسط اجرام ثقیل انحنایی است که توسط این اجرام در فضا-زمان مجاورشان به وجود می‌آید. بدین منظور چون تنسور ریچی ${\displaystyle R_{\mu \nu }\,}$ نماد انحناء در فضا-زمان و تنسور ضربه-انرژی ${\displaystyle T_{\mu \nu }\,}$ نماد ماده (انرژی) در محاسبات تنسوری است بایستی رابطه خطی میان این دو بر قرار باشد، اما چون مشتق هموردا (کواریانت) ${\displaystyle T_{\mu \nu }\,}$ صفر است.

${\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0}$

مشتق هموردای طرف دیگر تساوی نیز باید صفر باشد که برای ${\displaystyle R_{\mu \nu }\,}$ اینچنین نیست. لذا اینشتین جهت برطرف نمودن این مشکل ترکیبی از ریچی و اسکالر ریچی ${\displaystyle R\,}$ را از طریق اتحاد بیانچی بدست آورد که مشتق کواریانت آن صفر می‌باشد و به تنسور اینشتین معتبر است.

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },}$

بنابراین با قرار دادن این عبارت به عنوان نماد انحناء در معادله و با استفاده از معادله گرانش پواسن می‌توان ضریب تناسب را محاسبه نمود و نهایتاً داریم؛

${\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}$

اما اینشتین بعدها برای توضیح جهان شتاب‌دار ثابت کیهانشناسی ${\displaystyle \Lambda \,}$ را نیز در معادله دخیل کرد:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}$

و یا به فرم مفصل

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,.}$

با گنجادن این معادله در سنجه ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ می‌توان گفت:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu }\right)\,.}$

برخی از مواقع با در نظر گرفتن آحادی به صورت G = c = ۱ می‌توان آن را به فرم رایج زیر

${\displaystyle G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda =8\pi T_{\mu \nu }\,.}$

بازنویسی نمود. حل این معادلات برای نواحی بدون جرم یا انرژی (خلاء) منجر به متریک شوارتزشیلد و برای نواحی جرم دار (درون ستاره ای) منجر به معادله تولمن-اوپنهایمر-ولکوف می‌شود.