مجموعه کراندار

فرض کنید ${\displaystyle A}$ یک زیرمجموعهٔ ناتهی از ${\displaystyle \mathbb {R} }$ باشد. گوییم ${\displaystyle A}$ از بالا کراندار است اگر عددی مانند ${\displaystyle a}$ موجود باشد به طوری که به ازای هر ${\displaystyle x}$ از ${\displaystyle A}$ داشته باشیم ${\displaystyle x\leq a}$. اگر عددی مانند ${\displaystyle b}$ موجود باشد به طوری که به ازای هر ${\displaystyle y}$ از ${\displaystyle A}$ داشته باشیم ${\displaystyle b\leq y}$، آنگاه می‌گوییم ${\displaystyle A}$ از پایین کراندار است. مجموعهٔ ${\displaystyle A}$ را کراندار می‌نامیم در صورتی که ${\displaystyle A}$ از بالا و از پایین کراندار باشد.[1]

همچنین هر زیر مجموعه از اعداد حقیقی کراندار است اگر و تنها اگر مشمول در یک بازه در ${\displaystyle \mathbb {R} }$ باشد.

فرض کنیم ${\displaystyle (X,d)}$ یک فضای متریک و ${\displaystyle E\subseteq X}$ باشد. در اینصورت گوییم ${\displaystyle E}$ کراندار است هرگاه عددی حقیقی چون ${\displaystyle M}$ و نقطه‌ای مثل ${\displaystyle q\in X}$ وجود داشته باشند به‌طوری که به ازای هر ${\displaystyle p\in E}$ داشته باشیم ${\displaystyle d(p,q)<M}$. [2]

در فضای متری دلخواه ${\displaystyle (M,d)}$، زیرمجموعهٔ ${\displaystyle A}$ از ${\displaystyle M}$ فقط و فقط وقتی کراندار است که گوی بازی شامل ${\displaystyle A}$ موجود باشد.[3]