مثلث‌سازی

مثلث‌سازی

${\displaystyle l={\frac {d}{\tan \alpha }}+{\frac {d}{\tan \beta }}}$

از اینرو:

${\displaystyle d=l\,/\,({\tfrac {1}{\tan \alpha }}+{\tfrac {1}{\tan \beta }})}$

همچنین می‌توان از قانون سینوس‌ها برای محاسبه موقعیت نقطه مورد نظر به شرح زیر بهره برد:

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{BC}}={\frac {\sin \beta }{AC}}={\frac {\sin \gamma }{AB}}}$

فاصله AB مشخص است، پس می‌توانیم طول دو وجه دیگر مثلث را اینگونه محاسبه کنیم:

${\displaystyle AC={\frac {AB\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }}\qquad BC={\frac {AB\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }}}$

اکنون فاصله RC را می‌توانیم با استفاده از سینوس زاویه آلفا یا سینوس زاویه بتا محاسبه کنیم:

${\displaystyle RC=AC\cdot \sin \alpha \qquad }$

${\displaystyle \qquad RC=BC\cdot \sin \beta }$

از هر دو روش بالا به این نتیجه میرسیم:

${\displaystyle RC={\frac {AB\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin \gamma }}}$

در نهایت با توجه به اینکه جمع سه زاویه مثلث می‌باید ۱۸۰ درجه بشود. یعنی: γ = ۱۸۰ − α − β و با توجه به اینکه (sin(θ) = sin(۱۸۰ - θ، می‌توانیم بنویسیم (sin(γ)=sin(α+β و از آنجا نتیجه گیری نهایی به شرح زیر حاصل می‌شود:

${\displaystyle RC={\frac {AB\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}$

همچنین برای محاسبه فاصله نقطه مورد نظر از نقطه میانی دو نقطه معلوم، می‌توانیم با استفاده از قضیه فیثاغورس و قانون کسینوس‌ها نتیجه بگیریم:

${\displaystyle MR=AM-RB=\left({\frac {AB}{2}}\right)-\left(BC\cdot \cos \beta \right)}$

${\displaystyle MC={\sqrt {MR^{2}+RC^{2}}}}$