فهرست اتحادهای لگاریتمی
قوانین جبری
کاربرد عملگرهای سادهساز
گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارشهای ریاضی استفاده میشود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با مجموع لگاریتم دو عدد:
زیرا: | ||
زیرا: | ||
زیرا: | ||
زیرا: | ||
زیرا: | ||
زیرا: |
که در آن و و اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و است. همچنین و همگی اعداد حقیقی اند.
- اثبات قانون نخست
قانون مربوط به توانها:
قانون نسبتها:
قانون ریشهها مانند قانون توانها اثبات میشود:
اتحادهای بدیهی
زیرا: | ||
زیرا: |
هشدار: تعریف نشدهاست چون هیچ عدد را نمیتوان پیدا کرد که شود. به عبارت دیگر در نمودار در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.
توانهای خنثی کننده
تابعهای لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند میتوانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند.)
تغییر پایه
بسیاری از ماشین حسابها تنها میتوانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایهها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:
اثبات
فرض کنید که آنگاه حال از دو سوی تساوی در پایهٔ d لگاریتم میگیریم:
پس از سادهسازی خواهیم داشت:
آنگاه
از آنجایی که خواهیم داشت:
جمع و تفریق
جمع و تفریق در لگاریتمها در نظریههای احتمالاتی کاربرد دارند:
که در حالت ویژه میدهد:
منابع
منبع ریاضیات
مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «List of logarithmic identities». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی، بازبینیشده در ۳۱ اوت ۲۰۱۱.