سقوط آزاد

تنها نیروی وارد بر جسم هنگام سقوط، نیروی وزن آن یا ${\displaystyle m{\vec {g}}}$ است و طبق قانون دوم نیوتون شتاب وارد بر جسم رو به پایین و برابر با ${\displaystyle {\vec {g}}}$ خواهد بود که به نام شتاب گرانشی شناخته می‌شود. با انتگرال از معادله شتاب-زمان به معادله سرعت-زمان می‌رسیم:

${\displaystyle V_{y}(t)=gt+V_{0}}$

که در آن داریم:

${\displaystyle t}$ زمان

${\displaystyle V_{y}(t)}$ سرعت در راستای عمود در زمان ${\displaystyle t}$

${\displaystyle V_{0}}$ سرعت اولیه جسم است در زمان ۰.

با انتگرال دوم از معادله سرعت-زمان به معادله مکان-زمان خواهیم رسید:

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}gt^{2}+V_{0}t+y_{0}}$

که در آن داریم:

${\displaystyle y}$ مکان جسم نسبت به مبدا در زمان ${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{0}}$ مکان اولیه جسم نسبت به مبدا در زمان ۰.

با وجود اصطکاک دو نیروی مخالف هم به جسم وارد می‌شوند اولی گرانش و دیگری اصطکاک. نیروی گرانش ثابت و برابر ${\displaystyle m{\vec {g}}}$ رو به پایین است ولی نیروی اصطکاک متغیر و وابسته به سرعت جسم و رو به بالاست و برابر:

${\displaystyle {\vec {F}}_{a}=-k{\vec {V}}}$

که در آن:

${\displaystyle {\vec {F}}_{a}}$ نیروی اصطکاک

${\displaystyle k}$ ثابتی که به جنس گاز و مساحت جسم بستگی دارد

${\displaystyle {\vec {V}}_{y}}$ سرعت جسم در راستای عمود است.

بنابرین برآیند نیروها برابر است با:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {g}}-k{\vec {V}}_{y}}$

پس اندازه شتاب در راستای عمود برابر است با:

${\displaystyle a_{y}=g-{\frac {k}{m}}V_{y}}$

از آنجایی که ${\displaystyle a_{y}={\frac {dV}{dt}}}$ این معادله تبدیل به یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول می‌شود که با حل آن سرعت به صورت زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle V={\frac {mg}{K}}(1-e^{-{\frac {K}{m}}t})}$

که در آن ${\displaystyle {\frac {mg}{K}}}$ سرعت حدی نام دارد.