روش گاوس-سایدل

برای یک سیستم مربعی با n معادلهٔ خطی و دارای مجهول x داریم:

که در آن:

اگر A را به ماتریس پایین مثلثی و بالا مثلثی L_* و U تجزیه کنیم:

معادلات خطی سیستم به شکل زیر بازنویسی خواهند شد:

روش گاوس سایدل از روش تکراری برای حل قسمت چپ عبارت جهت به دست آوردن x بهره می‌برد، و بدین منظور از مقدار قبلی x در سمت راست عبارت استفاده می‌کند. می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:

و با استفاده از خواص ماتریس مثلثی L_* می‌توان x^(k+1) را به صورت زیر به دست آورد:

در واقع برای محاسبه x_i^(k+1) به همه عناصر x^(k) به جز خود x_i^(k) نیاز خواهد شد.

محاسبات تا زمانی ادامه داده می‌شود تا در تکراری خاص به خطایی کمتر از مقدار مورد نظر برسیم.

برای سیستمی که به شکل ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ نمایش می‌دهیم داریم:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}16&3\\7&-11\\\end{bmatrix}}}$ و ${\displaystyle b={\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}.}$

می‌خواهیم از معادله زیر

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=L_{*}^{-1}(\mathbf {b} -U\mathbf {x} ^{(k)})}$

به شکل

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=T\mathbf {x} ^{(k)}+C}$

استفاده کنیم، که در آن:

${\displaystyle T=-L_{*}^{-1}U}$ و ${\displaystyle C=L_{*}^{-1}\mathbf {b} .}$

باید ${\displaystyle A_{}^{}}$ به جمع دو ماتریس پایین مثلثی و بالا مثلثی ${\displaystyle L_{*}^{}}$ و ${\displaystyle U_{}^{}}$ تجزیه شود:

${\displaystyle L_{*}={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\\\end{bmatrix}}}$ و ${\displaystyle U={\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}.}$

معکوس ${\displaystyle L_{*}^{}}$ برابر است با:

${\displaystyle L_{*}^{-1}={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\\\end{bmatrix}}}$.

و حالا می‌توانیم مقدار زیر را پیدا کنیم:

${\displaystyle T=-{\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}.}$

و با استفاده از ${\displaystyle T_{}^{}}$ و ${\displaystyle C_{}^{}}$ مقدار ${\displaystyle \mathbf {x} }$ را به صورت تکرار به دست می‌آوریم.

باید مقدار اولیه را به صورت حدس انتخاب کنیم، برای همین فرض می‌کنیم:

${\displaystyle x^{(0)}={\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}.}$

حال می‌توانیم محاسبه کنیم:

${\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(3)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(4)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(5)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(6)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle x^{(7)}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

و همانگونه که انتظار داشتیم به مقدار دقیق همگرا شد:

${\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}$

• www.math-linux.com
• محاسبه گاوس-سایدل
• روش گاوس-سایدل
• کد متلب