تابع منگولد

تابع منگلولد را با نماد ${\displaystyle \Lambda (n)}$ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\mbox{if }}n=p^{k}{\mbox{ for some prime }}p{\mbox{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

مقادیر ${\displaystyle \Lambda (n)}$ برای نه تا از اولین اعداد صحیح مثبت (یعنی اعداد طبیعی) بدین صورت است:

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}$

که مرتبط با (دنبالهٔ A014963 در OEIS) است.

تابع جمع منگلد ${\displaystyle \psi }$، که به آن تابع چبیشف دوم هم می گویند به این صورت تعریف می شود:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$

فون منگولد اثبات استواری برای فرمول دقیق ${\displaystyle \psi (x)}$ مربوط به جمع صفرهای نابدیهی تابع زتای ریمان ارائه نود. این دستاورد بخش مهمی از اولین اثبات قضیه اعداد اول بود.

برای تابع منگولد اتحاد زیر برقرار است:[1][2]

${\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}$

جمع روی کل اعداد صحیح ${\displaystyle d}$ که ${\displaystyle n}$ را می شمارند گرفته شده است. این اتحاد توسط قضیه بنیادی حساب اثابت شده است، چرا که جملاتی که توان‌هایی از اعداد اول نیستند برابر صفر است. به عنوان مثال، حالتی که ${\displaystyle n=12=2^{2}\times 3}$ را در نظر بگیرید. آنگاه:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}$

براساس معکوس گیری موبیوس داریم:[2][3][4]

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}$

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Von Mangoldt Function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.