تابع تتای رامانوجان

تابع به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}}$

وقتی |ab| < ۱. ضرب سه‌گانهٔ ژاکوبی همانی از شکل زیر استفاده می‌کند:

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

اینجا عبارت ${\displaystyle (a;q)_{n}}$ نمایندهٔ فاکتوریل Qجابه جا شده است:

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

نتیجه می‌شود:

${\displaystyle f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={(-q;q^{2})_{\infty }^{2}(q^{2};q^{2})_{\infty }}}$

و:

${\displaystyle f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}}$

و:

${\displaystyle f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }}$

که آخری تابع اویلر است، که در رابطهٔ مستقیم با تابع اتای ددکیند است. تابع تتای ژاکوبی بر حسب تابع تتای رامانوجان:

${\displaystyle \vartheta (w,q)=f(qw^{2},qw^{-2})}$

از تابع تتای رامانوجان برای تعیین مایش (دیمانسیون) انتقالی در نظریهٔ رشتهٔ بوسونیک، نظریهٔ ابر ریسمان و نظریهٔ ام کاربرد دارد.